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au lieu que la longueur $\mathrm {OD} =k$ varie de l’une à l’autre. On fera donc ${\frac {k}{p}}=b,$ alors $k=pb,$ et

$r={\frac {pb}{\operatorname {Sin} .p\omega }}.$

xiii. Deuxième cas. Cette forme d’équation est très-appropriée au deuxième cas où $\mu =c^{2}.$ Elle montre manifestement comment cette hypothèse se lie à la précédente. En effet, à mesure que $c^{2}-\mu$ diminue et se rapproche de zéro, le nombre $p={\frac {\sqrt {c^{2}-\mu }}{c}}$ diminue de son côté et devient infiniment petit. On a donc à la limite $\operatorname {Sin} .p\omega =p\omega ,$ et

$r={\frac {b}{\omega }}.$

C’est l’équation de la spirale hyperbolique dont l’asymptote est toujours éloignée du centre de la distance $b,$ comme pour toutes les courbes comprises quel que soit $p,$ dans l’équation générale

$r={\frac {pb}{\operatorname {Sin} .p\omega }}.$

La spirale hyperbolique fait une infinité de circonvolutions avant qu’on ait $r=0\,;$ et, en tenant compte des valeurs négatives de $\omega ,$ on trouve une autre branche de même asymptote, dont la combinaison avec la première engendre une infinité de nœuds.

Néanmoins la formule

$t={\frac {r_{1}-r_{2}}{\sqrt {c'}}},$

que nous avons trouvée dans le numéro précédent pour exprimer le temps employé à parcourir un arc de la courbe, donne, quand