Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1831-1832, Tome 22.djvu/27

$z+{\sqrt {z^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}}=c''e^{p\omega }\,;$

et à cause de

$z-{\sqrt {z^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}}=-{\frac {1}{k^{2}}}.{\frac {1}{z+{\sqrt {z^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}}}},$

on a aussi

$z+{\sqrt {z^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}}=-{\frac {1}{k^{2}c''}}e^{-p\omega }.$

En ajoutant ces deux équations et divisant par $2,$ il vient

$z={\frac {c''e^{p\omega }}{2}}-{\frac {e^{-p\omega }}{2c''k^{2}}}.$

Si l’on veut, comme précédemment, compter les $\omega$ de la droite pour laquelle $r=\infty$ et $z=0,\ z$, et $\omega$ étant nuls ensemble, on a

$c''={\frac {1}{k}}\,;$

d’où résulte

$z={\frac {e^{p\omega }-e^{-p\omega }}{2k}},$

et, par conséquent,

$r={\frac {2k}{e^{p\omega }-e^{-p\omega }}}.$

Voici la construction géométrique de cette valeur de $r$.

Soit $\mathrm {OB}$ (fig. 4) la droite à partir de laquelle on compte les angles, répondant conséquemment aux valeurs $\omega =0,\ r=\infty \,;$ une