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Écrivons la condition nécessaire pour que ces deux racines soient réelles. Cette condition est

$a^{2}\geqq 3a^{2}-b^{2},\quad$ou$\quad b^{2}\geqq 2a^{2}.\qquad$(1)

Si l’une ou l’autre relation a lieu, nous en conclurons, d’après les valeurs obtenues pour $p$ et $q,$,

${\begin{array}{lr}p\geqq 4a\left(2a^{2}-a^{2}\right),\quad \mathrm {ou} \qquad p\geqq 4a^{3},&\qquad (2)\\q\leqq 3a^{4}.&(3)\end{array}}$

Réciproquement, si les relations (2) et (3) existent, elles entraîneront la relation (1). Or, $a,p,q$ étant des quantités positives, nous pouvons tirer de (2) et (3) les inégalités ou égalités

$\left({\frac {p}{4}}\right)^{4}\geqq a^{12},$

$a^{12}\geqq \left({\frac {q}{3}}\right)^{3}\,;$

multiplions-les, membre à membre, et il viendra

$\left({\frac {p}{4}}\right)^{4}\geqq \left({\frac {q}{3}}\right)^{3},$

ou

$q\leqq 3\left({\frac {p}{4}}\right)^{\frac {4}{3}},$

ce qu’il fallait trouver, et ce qu’on peut d’ailleurs déduire de la