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$x^{2}+y^{2}+(x-x')^{2}+y^{2}+(x-x'')^{2}+(y-y'')^{2}=s^{2},$

ou bien

$3y^{2}-2y''y+3x^{2}-2(x'+x'')x+x'^{2}+x''^{2}+y''^{2}=s^{2}.\qquad$(A)

Cette équation, résolue par rapport à $y$, devient

$y={\frac {y''}{3}}\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {3\left[s^{2}-3x^{2}+2(x'+x'')x-x'^{2}-x''^{2}\right]-2y''^{2}}}.$

L’inconnue $s^{2}$ n’entrant qu’à la première puissance sous le radical, la condition de réalité de $y$ nous donne immédiatement, pour le minimum de $s^{2},$ sans qu’il y ait de transformation à opérer,

$s^{2}=3x^{2}-2(x'+x'')x+x'^{2}+x''^{2}-{\frac {2}{3}}y''^{2}.\qquad$(B)

Dans le cas de ce minimum, les deux valeurs de $y$ se réduisent à ${\frac {y''}{3}}.$ Tirant ensuite de (B) la valeur de $x$, il vient

$x={\frac {x'+x''}{3}}\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {3s^{2}-2x'^{2}-2x''^{2}+2x'x''-2y''^{2}}}.$

En raisonnant comme plus haut (12), nous trouverons, pour le minimum définitif de $s^{2}$,

$s^{2}={\frac {2}{3}}\left(x'^{2}+x''^{2}-x'x''+y''^{2}\right)\,;$

et la valeur correspondante de $x$ est ${\frac {x'+x''}{3}}.$ Le point trouvé