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QUESTIONS.

$\mathrm {\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A-B)-\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A+B)}$ ; donc, on connaît le cosinus de la demi-différence des angles $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ ; et partant on connaît aussi la demi-différence de ces angles, et on les connaît l’un et l’autre.

On a, ${\begin{aligned}\mathrm {\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A-B)} &=\mathrm {\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A+B)+{\frac {2r}{AB}}.\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}C} \\&=\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}C+{\frac {r}{2R\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}C}}.\\\end{aligned}}$

Comme la plus grande valeur de $\mathrm {\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A-B)}$ est l’unité, on doit avoir :

$1\geqq \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} +{\frac {r}{2R\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} }};$

d’où

$\quad r\leqq 2R\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} (1-\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} ),$

ou encore

$\qquad \quad r\leqq 4R\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} \cdot \operatorname {Sin} .^{2}(45^{\circ }-{\tfrac {1}{4}}\mathrm {C} ).$

dans le cas de la limite, le triangle est isocèle.

§. VII.

Ce qui vient d’être développé, sur le cercle circonscrit et sur le cercle inscrit à un triangle, peut être appliqué, avec de légers changemens, au cercle circonscrit et à l’un des trois cercles exinscrits à ce même triangle, savoir : à un cercle qui touche un des côtés du triangle extérieurement, et les prolongemens des deux autres côtés ( Voyez mes Élémens d’analyse, etc, §. 131. ).

Comme le rayon du cercle exinscrit à un triangle, dans l’un de ses angles, a, relativement au côté qu’il touche extérieurement, une direction opposée à celle du rayon du cercle inscrit ; dans la formule ${\overline {Zz}}^{2}=R(R-2r)$, on doit changer le signe de r, ce qui donne l’é-