figures planes, il a même effectué l’intégration :
mais à l’aide de procédés tout spéciaux. Le nouveau Traité n’apporte pas d’intégrations nouvelles, mais il expose des procédés entièrement différents et très intuitifs pour résoudre des problèmes variés et apercevoir des théorèmes où interviennent les trois intégrations précédentes. La méthode d’exhaustion est au fond de ces procédés, mais ce qui en fait la fécondité, ce qui permet (à l’aide de trois quadratures distinctes seulement) de traiter une multitude de questions, c’est une notion toute moderne et qui apparaît là pour la première fois dans l’œuvre d’Archimède : la notion de moment d’une force par rapport à une droite ou à un plan.
Cette notion qu’Archimède emploie constamment sans lui donner de nom, c’est l’équilibre du levier qui la lui a suggérée, et c’est sous sa forme mécanique qu’il l’introduit dans tous ses raisonnements. Traduite en langage moderne, sa méthode consiste à comparer deux volumes qu’on regarde comme des solides homogènes, et à montrer que les poids de leurs éléments ont même moment résultant par rapport à une certaine droite. Comme un des volumes a été choisi de façon que ce moment résultant fût connu pour lui, il est connu également pour l’autre : d’où une propriété géométrique de ce dernier volume.
Parmi les théorèmes qu’Archimède met ainsi en évidence, il en est auxquels il attache une importance particulière, et cela pour des raisons dont
