Prolongeons ΑΓ de ΑΘ = ΑΓ et considérons ΓΘ comme un levier ayant Α pour milieu fixe. Menons un plan horizontal ΜΝ : il coupe les deux cylindres selon deux rectangles égaux qui ont eux-mêmes pour partie commune un carré de côté ΞΟ qui coupe le cercle ΑΒΓΔ selon la corde ΞΟ. Ce même plan coupe le prisme selon un carré de côté ΜΝ, la pyramide selon un carré de côté ΠΡ.
On a (cf. le théorème II) :
Mais :
donc :
c’est-à-dire que le carré ΜΝ, restant en place, équilibre par rapport à Α les carrés ΞΟ, ΠΡ transportés en Θ comme centre de gravité. Cette proposition reste vraie pour n’importe quelle position du plan ΜΝ et, par conséquent, pour les sommes des trois espèces de carrés interceptés par chacun de ces plans. Donc, en totalisant, le prisme (somme des carrés ΜΝ) restant en place équilibre la pyramide (somme des carrés ΠΡ) et le volume commun aux deux cylindres (somme des carrés ΞΟ) transportés Θ comme centre de gravité commun. Le prisme ayant évidemment pour centre de gravité Κ, on doit donc avoir :
