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ou de la méthode
zontal ΛΡ coupera le cube selon un carré de côté ΛΡ, la pyramide selon un carré de côté ΝΟ, le volume commun selon un carré de côté ΜΠ. On a :
ΞΚ² + ΞΠ² = (ΚΠ² = ΚΔ² =) ΞΡ² ;
et, comme ΞΚ = ΞΝ, on a :
ΞΝ² + ΞΠ² = ΞΡ².
C’est-à-dire :
carré (ΝΟ) + carré (ΜΠ) = carré (ΛΡ).
Cette égalité étant vraie pour n’importe quelle position de la parallèle ΛΡ, on a, en sommant :
Σ carrés ΝΟ + Σ carrés ΜΠ = Σ carrés ΛΡ,
c’est-à-dire :
2 pyramides ΦΚΨ + volume commun = cube ΦΨΧΩ[1].
Et comme la pyramide est le 6e du cube :
volume comm. = cube − 26 cube = 23 cube. C. q. f. d.
Remarque.
Considérons toujours les deux cylindres horizontaux (fig. 22 et 23). On a vu (1re démonstration)
- ↑ Le passage de l’égalité des surfaces des sections à l’égalité des volumes est évidemment sans rigueur, mais inspiré de raisonnements analogues d’Archimède. Il serait, d’ailleurs, facile de donner au raisonnement plus de précision en décomposant la pyramide et le solide en deux séries de prismes carrés inscrits et circonscrits, dont leurs volumes sont les limites respectives (cf. la troisième démonstration du théorème précédent).
