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l’unité de temps, on a

$v={\frac {\mathrm {Q} }{\omega }}\ ;\quad$ d’où $\quad dv=-{\frac {\mathrm {Q} '}{\omega ^{2}}}.d\omega .$

Il est clair qu’on a aussi

${\frac {ds}{dt}}=v,\quad$ ou $\quad {\frac {ds}{dt}}={\frac {\mathrm {Q} }{\omega }}\ ;\quad$ donc ${\frac {dvds}{dt}}=-{\frac {\mathrm {Q} ^{2}}{\omega ^{3}}}\ d\omega .$

[16.] Cette expression substituée dans l’équation de l’article 14, donne

$\sin \gamma ds-\cos \gamma dh-{\frac {\chi }{\omega }}\ (av+bv^{2})\ ds+{\frac {\mathrm {Q} ^{2}}{g\omega ^{3}}}d\omega =0.$

[17.] D’après les conditions (article 9) qui restreignent les cas auxquels cette analyse s’applique, il est clair qu’on peut choisir, pour axe du courant, l’un quelconque des filets dont il se compose, par exemple, la ligne qui serait tracée longitudinalement par les points les plus bas du lit du canal. Dans ce cas, la longueur $s$ sera mesurée sur le fond, l’ordonnée $h$ sera la plus grande profondeur d’eau mesurée perpendiculairement à la ligne d’eau dans la section normale à l’extrémité de l’arc $s\ ;$ $\gamma$ sera l’angle du fond au même point avec l’horizon, et si l’on fait $\sin \gamma =i,$ l’équation précédente deviendra

$ids-{\sqrt {\mathrm {\mathrm {I} } -i^{2}}}\ dh-{\frac {\chi }{\omega }}\ (av+bv^{2})\ ds+{\frac {\mathrm {Q} ^{2}}{g\omega ^{3}}}\ d\omega =0.$

Le lit du canal est supposé donné ; sa pente et son profil pourront varier de l’une à l’autre de ses extrémités, pourvu que ce soit par degrés peu sensibles ; la quantité $i$ sera une fonction donnée de $s\ ;$ $\omega$ et $\gamma$ seront des fonctions également déterminées de $s$ et de $h\ ;$ il en sera de même de $v,$ puisqu’on a $v={\tfrac {\mathrm {Q} }{\omega }}$. Ainsi l’équation précédente pourra être ramenée à ne contenir d’autres variables que $s,$ $h,$ et leurs différentielles, ce qui réduit à une difficulté de calcul intégral le problème de déterminer la courbe suivie par les filets fluides de la surface du courant, courbe entièrement connue dès que l’on aura la valeur de la profondeur $h,$ normale à l’axe du lit, correspondante à chaque longueur ou distance $s.$

[18.] Lorsque la pente et le profil transversal du canal seront cons-