Page:Bachelier - La Spéculation et le Calcul des probabilités, 1938.djvu/31

avec le bon sens, et, si le marché ne réalise jamais ces écarts et n’en approche même pas, c’est qu’à son insu il obéit à la loi de la probabilité. (Théorie de la spéculation, p. 13.)

38. Loi des écarts des primes. — Pour trouver une relation entre l’importance $h$ d’une prime et son écart ${m+h}$, nous appliquerons à l’acheteur de prime le principe de l’espérance mathématique

L’espérance mathématique de toute spéculation est nulle.

Soit $\varpi$ la probabilité du cours $x$ à l’époque de l’échéance $t$. Nous allons évaluer l’espérance :

1^o Pour les cours compris entre $-\infty$ et $m$ ;

2^o Pour les cours compris entre $m$ et ${m+h}$ ;

3^o Pour les cours compris entre ${m+h}$ et $+\infty$ ;

1^o Pour les cours compris entre $-\infty$ et $m$, l’acheteur subit une perte $h$. Son espérance mathématique pour un cours compris dans l’intervalle donné est ${-\varpi h}$ ; elle est donc pour tout l’intervalle

$-h\int _{-\infty }^{m}\varpi \,\mathrm {d} x$ ;

2^o Pour un cours $x$ compris entre $m$ et ${m+h}$, la perte de l’acheteur est ${m+h-x}$ ; l’espérance mathématique correspondante est ${-\varpi (m+h-x)}$, et pour tout l’intervalle elle est

$-\int _{m}^{m+h}\varpi (m+h-x)\,\mathrm {d} x$ ;

3^o Pour un cours $x$ compris entre ${m+h}$ et $\infty$, le bénéfice de l’acheteur est ${x-m-h}$ ; l’espérance mathématique correspondante est ${-\varpi (x-m-h)}$, et elle est alors pour l’intervalle entier,

$-\int _{m+h}^{\infty }\varpi (x-m-h)\,\mathrm {d} x$.