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1^o Un achat ferme d’une unité au cours $r$ ;

2^o Un achat ferme de $(n-1)$ unités au cours $r$, cet achat n’étant à considérer que dans l’intervalle $r,\infty$.

La première opération a pour espérance mathématique $-r$ ; la seconde a pour espérance

$(n-1)\int _{r}^{\infty }\varpi (x-r)\,\mathrm {d} x$.

On doit donc avoir

$r=(n-1)\int _{r}^{\infty }\varpi (x-r)\,\mathrm {d} x$,

ou, en remplaçant $\varpi$ par sa valeur

$\varpi ={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{4\pi a^{2}}}}}{2\pi a}}$,

et en développant en série,

$2\pi -\pi \,{\frac {n+1}{n-1}}\left({\frac {r}{a}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}-{\frac {1}{48\pi }}\left({\frac {r}{a}}\right)^{3}+\ldots =0$.

50. En ne conservant que les trois premiers termes, on obtient

$r=a\left[{\frac {n+1}{n-1}}\pi -{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n-1}}\pi \right)^{2}-4\pi }}\right]$.

Si ${n=2}$, ${r=0{,}68a}$.

L’écart de la faculté du double doit être environ les 2/3 de la valeur de la prime simple.

Si ${n=3}$, ${r=1{,}096a}$.

L’écart de la faculté du triple doit être supérieur de 1/10 environ à la valeur de la prime simple.

51. Les formules précédentes montrent que les écarts des options sont proportionnels à la quantité $a$, il en résulte que la probabilité de réussite de ces opérations est indépendante de l’époque de l’échéance.