153
RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE
II. — RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE.
Note 11.
Les tenseurs.
1o TRANSFORMATION DU DÉPLACEMENT ÉLÉMENTAIRE. — Passons d’un système de coordonnées (
,
,
,
) à un autre (
,
,
,
) l’élément de ligne se transforme d’après les quatre équations
![{\displaystyle dx_{1}^{\prime }={\frac {\partial {x_{1}^{\prime }}}{\partial {x_{1}}}}dx_{1}+{\frac {\partial {x_{1}^{\prime }}}{\partial {x_{2}}}}dx_{2}+{\frac {\partial {x_{1}^{\prime }}}{\partial {x_{3}}}}dx_{3}+{\frac {\partial {x_{1}^{\prime }}}{\partial {x_{4}}}}dx_{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5335601b561981f48b8349b679c41163e4e48974)
.....................
qu’on résume sous la forme abrégée
(11-1)
|
|
|
étant le même indice dans les deux membres et la sommation étant faite, pour chaque indice
, en remplaçant
successivement par 1, 2, 3, 4.
2o QUADRIVECTEURS. — Tout groupe de quatre quantités
qui se transforment suivant la même loi que les
.
(11-2)
|
|
|
constitue un quadrivecteur ou tenseur de premier ordre contrevariant. On met l’indice en haut (sauf pour
qui est cependant contrevariant).