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RÉSONANCE. THÉORIE DE L’OREILLE.

expression

$\int _{0}^{\tau }\mathrm {A} \sin \omega t.d\theta =\mathrm {A} \theta _{0}\pi \sin \varepsilon .$

L’énergie moyenne reçue est donc

$w={\frac {\mathrm {A} \theta _{0}\pi \sin \varepsilon }{\tau }}={\frac {\mathrm {A} ^{2}\sin ^{2}\varepsilon }{2f}}.$

Elle est maxima quand le son excitateur est à l’unisson du son de plus forte résonance du corps excité ; à mesure que $\varepsilon$ s’éloigne de $\pi :2,$ l’énergie reçue décroît rapidement.

Appelons $\mathrm {W}$ l’énergie transmise pour le son de plus forte résonance $\Omega .$ On a alors $\sin ^{2}\varepsilon =1\,;w=\mathrm {W} \sin ^{2}\varepsilon .$

Pour préciser les discussions qui vont suivre, nous changerons de variable. Posons $\alpha =f:2\mathrm {I} \Omega .$ La loi de décroissance des oscillations du corps abandonné à lui-même dépend du facteur $e^{-\lambda t}.$ Mettons en évidence le nombre $n$ d’oscillations effectuées ; nous devons poser $t=n\mathrm {T} ',$ ou très approximativement $t=n\mathrm {T}$ Le facteur amortissant devient $e^{-\lambda \mathrm {T} .n}.$

Or

$\alpha ={\frac {f}{2\mathrm {I} \Omega }}={\frac {\lambda }{\Omega }}={\frac {\lambda \mathrm {T} }{2\pi }}\,;$

d’où

$e^{-\lambda \mathrm {T} .n}=e^{-2\pi n\alpha }.$

La variable $\alpha$ peut donc servir à caractériser l’amortissement.

Introduisons l’intervalle $i$ entre le son $\tau$ et le son $\mathrm {T} \,;$ $i=\omega :\Omega .$ On peut écrire

(1)                              $\operatorname {tang} \varepsilon ={\frac {2\alpha i}{1-i^{2}}}=2\alpha :\left({\frac {1}{i}}-i\right).$                              

Au signe près on a le même $\varepsilon$ que l’on prenne $i=\omega :\Omega$ ou $i=\Omega :\omega .$ La valeur de $\sin ^{2}\varepsilon$ n’est donc pas modifiée.

18. Relation entre l’amortissement et le champ de résonance.

Premier problème. — On se donne un corps caractérisé par un certain $\alpha .$ Ou fait varier l’intervalle $i$ ; on demande comment varie le rapport $\rho =w:\mathrm {W} =\sin ^{2}\varepsilon .$ L’équation (1) permet de calculer $\varepsilon$ et par conséquent $\sin ^{2}\varepsilon$ en fonction de $i.$

On obtient ainsi un faisceau de courbes ($\rho$ en ordonnées,