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Pour mesurer les volumes, nous raisonnerons et procèderons comme nous l’avons fait pour mesurer les surfaces^[1].

1. Je rappelle les énoncés des propriétés fondamentales des plans sur lesquelles reposent les définitions des figures solides dont nous allons nous occuper.

   Par trois points quelconques de l’espace, non situés sur une même droite, il passe un plan et un seul (nous nous dispensons de définir la notion de plan. (voir supra, n^o 52). Ce plan contient toutes les droites qui joignent l’un des trois points ($\mathrm {C}$ sur la figure) à un point arbitraire $\mathrm {M}$ de la droite indéfiniment prolongée qui passe par les deux autres points ($\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sur la fig. 31).

   Par définition, la parallèle à une droite $\mathrm {AB}$ menée par un point $\mathrm {C}$ est la parallèle $\mathrm {CD}$ (fig. 31) menée à $\mathrm {AB}$ par $\mathrm {C}$ dans le plan déterminé par la droite $\mathrm {AB}$ et le point C.

   Deux droites qui se coupent, telles que $\mathrm {CM,\,AB}$ (fig. 31) ou deux droites parallèles telles que $\mathrm {AB,\,CD}$ déterminent un plan [c’est-à-dire qu’il existe un plan et un seul contenant ces deux droites]. Si deux droites ne se coupent pas et ne sont pas parallèles, elles sont dans des plans différents.

   Deux plans quelconques se coupent suivant une droite [c’est-à-dire ont en commun une droite, indéfiniment prolongeable dans les deux sens, appelée intersection des deux plans] et forment un dièdre [n^o 59], — ou sont parallèles (fig. 32) ; sur la figuration d’un plan par un parallélogramme, voir 59.

   Un plan est dit parallèle à une droite donnée (située hors de lui) s’il contient une droite parallèle à cette droite donnée.

   Un plan — je le désigne par une lettre, soit $\mathrm {P}$ — qui est parallèle à un autre plan $\mathrm {Q}$ est parallèle à toutes les droites contenues dans le plan $\mathrm {Q.}$

   

   Par un point extérieur à un plan donnė $\mathrm {P} ,$ il passe un plan parallèle à $\mathrm {P}$ et un seul.

   Quand deux plans sont parallèles leurs intersections par un troisième plan quelconque sont deux droites parallèles.

   Une droite $\mathrm {BA}$ (fig. 33) qui coupe un plan $\mathrm {P}$ au point $\mathrm {A}$ est dite perpendiculaire sur ce plan si elle Fig. 5. est perpendiculaire à toutes les droites du plan $\mathrm {P}$ qui passent par $\mathrm {A.}$

   Par un point $\mathrm {A}$ d’un plan $\mathrm {P}$ on peut mener une droite et une seule perpendiculaire au plan $\mathrm {P.}$

   D’un point $\mathrm {B}$ puis hors d’un plan $\mathrm {P}$ on peut abaisser une droite et une seule perpendiculaire sur le plan $\mathrm {P.}$

   Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

   Un plan $\mathrm {Q}$ fig. 34 est dit perpendiculaire à un autre plan $\mathrm {P}$ s’il con-