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d’après la définition donnée plus haut, la limite de $s_{n}$ pour $n$ infini. Nous exprimons ce résultat en disant que la somme de la progression géométrique indéfinie

$1+r+r^{2}+\ldots +r^{n}+\ldots$

est égale à ${\frac {1}{1-r}}.$ Ainsi la somme

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n}}}+\ldots$

prolongée indéfiniment est égale à ${\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}$ ou $2.$

C’est là un résultat qu’énonçait déjà explicitement Archimède dans son Traité de la quadrature de la parabole, prop. 23.

112. Abscisses. Interprétation géométrique de la limite. – Comme type de grandeur, nous prendrons de préférence, avons-nous dit, la longueur d’un segment géométrique (n^o 53). Convenons en particulier de toujours porter les segments sur une même droite, dans une même direction, et à partir d’un même point $\mathrm {O}$ appelé origine. La comparaison des segments entre eux est alors particulièrement aisée^[1].

une longueur = une abscisse sur axe X'X

Fig. 66.

Imaginons, par exemple, que les longueurs soient portées du côté droit (à partir de l’origine $\mathrm {O}$) sur la droite indéfinie^[2] $\mathrm {X'OX}$ (fig. 66) ; alors à toute longueur $\mathrm {OA}$ correspond un point $\mathrm {A}$ (seconde extrémité du segment $\mathrm {OA}$ situé à droite du point $\mathrm {O} \,;$ nous dirons que la longueur $\mathrm {OA}$ est l’abscisse du point $\mathrm {A} .$

1. La représentation des longueurs par des abscisses rend intuitives toutes les propriétés que nous avons dit appartenir aux longueurs. Ainsi, par exemple, étant données deux longueurs, on en aura l’abscisse de leur somme en les portant bout à bout à partir du point $\mathrm {O.}$ — Le produit de deux longueurs pourra d’après le § 3 (n^o 95) être défini comme une longueur, partant comme une abscisse.
2. Le point $\mathrm {X,}$ naturellement, est quelconque sur la droite indéfinie ; on peut l’éloigner autant qu’on veut.