Comment y parvenir ? La question est délicate, car l’Arithmétique ne noms autorise à calculer que sur des unités de même espèce : il n’est pas permis, comme on dit vulgairement, d’additionner des bottes avec des gendarmes. Cependant, si nous analysons les notions d’addition et de soustraction géométriques introduites au no 63, nous trouverons que ces notions conservent toute leur signification lors même qu’on les applique à des segments qui n’ont pas tous le même sens, et que, par conséquent, les abscisses de sens opposés sont des grandeurs comparables » au sens du no 55.
126. Opérations sur les longueurs-abscisses. – Revenons à notre conception première des abscisses définies comme segments
ou longueurs de segments, et considérons deux abscisses et dirigées de vers (fig. 68); j’entends dire par là que les extrémités et sont entre et d’une manière générale, en effet, nous attribuerons à un segment tel que ou ou fig. 67 le sens qui va, du point nommé le premier, vers l’extrémité ou ou
Désignons par et les longueurs de et Pour ajouter les abscisses et nous devons manifestement porter, à partir de et à droite de ce point (c’est-à-dire dans le sens du segment une longueur égale à Pour retrancher de nous devons à partir de porter la même longueur en sens inverse. Ainsi sur la fig. 68, la sommne est l’abscisse la différence est l’abscisse
Les opérations additive et soustractive que nous définissons ainsi ne supposent nullement, au point de vue géométrique tout au moins, que soit plus petit que Elles sont encore possibles si [le point construit comme il a été dit tombe alors à gauche du point ], bien qu’en ce cas la différence n’ait plus de sens arithmétique.
Il y a plus. Nos opérations conservent un sens géométrique bien défini lors même que les abscisses, ou les segments et sont de sens contraires (cas de la fig. 69). Si nous portons, en ce cas, sur l’axe à partir du point un segment égal à et dirigé
