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Abaissons du sommet $\mathrm {A}$ de l’angle droit la hauteur relative à l’hypoténuse (fig. 115) et appelons $\mathrm {H}$ son pied. Le triangle $\mathrm {HAC}$ est semblable au grand triangle $\mathrm {ABC}$ ; car il a même angle $\mathrm {C} ,$ un angle droit $\mathrm {H}$ égal à l’angle $\mathrm {A} ,$ un angle $\mathrm {HAC}$ qui est égal à l’angle $\mathrm {B}$ [puisqu’il est complémentaire (54) du même angle $\mathrm {C}$]. Dans les deux triangles semblables, les côtés homologues sont ceux qui sont opposés aux angles égaux, et l’on a, par conséquent, en écrivant que ces côtés sont proportionnels :

(1)

$\mathrm {{\frac {AB}{AH}}={\frac {BC}{AC}}={\frac {AC}{CH}}} .$

Les deux triangles $\mathrm {ABC}$ et $\mathrm {HBA}$ sont, pareillement semblables et nous donnent :

(2)

$\mathrm {{\frac {AC}{AH}}={\frac {BC}{AB}}={\frac {AB}{BH}}} .$

Nous allons tirer de ces proportions plusieurs conséquences remarquables.

Égalant, dans les deux derniers rapports marqués (1) le produit des moyens au produit des extrêmes (cf, n^o 99), nous obtenons :

$\mathrm {AC^{2}=BC\times CH} .$

Opérant de même sur les rapports (2), nous avons :

$\mathrm {AB^{2}=BC\times BH} .$

Additionnant il vient :

${\rm {AB^{2}+AC^{2}=BC\times BH+BC\times HC=BC\times (BH+HC)=BC^{2}.}}$

Le théorème de Pythagore est donc démontré^[1].

1. On peut démontrer que réciproquement si les trois côtés d’un triangle sont tels que ${\rm {AB^{2}+AC^{2}=BC^{2},}}$ le triangle est rectangle, l’angle $\mathrm {A}$ étant droit.