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d’où résulte

$\mathrm {AB.\sin A=BC\sin C\quad {\text{ou}}\quad {\frac {AB}{\sin C}}={\frac {BC}{\sin A}}} .$

Raisonnant semblablement sur la hauteur relative au sommet $\mathrm {C} ,$ nous obtiendrons

$\mathrm {{\frac {AB}{\sin C}}={\frac {AC}{\sin B}}} \,;$

donc^[1]

(10)

${\rm {{\frac {BC}{\sin A}}={\frac {AC}{\sin B}}={\frac {AB}{\sin C}}.}}$

220. – Soit maintenant $\mathrm {AK}$ la hauteur issue de $\mathrm {A}$ (voir fig. 134 où les angles $\mathrm {A,B,C}$ sont aigus). Les triangles rectangles. $\mathrm {KAB,KAC}$ nous donnent

${\rm {BK=AB.\cos B,\qquad KC=AC.\cos C\,;}}$

d’où

$\mathrm {BC=BK+KC=AB.\cos B+AC.\cos C} .$

On établira facilement la même égalité dans l’hypothèse où le triangle a un angle obtus.

Les côtés $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {AC}$ du triangle donnent lieu chacun à une relation analogue.

221. Résumé des formules relatives aux triangles. – Désignons, pour simplifier l’écriture, par $a,b,c$ les longueurs des côtés $\mathrm {BC,AC,AB}$ du triangle, respectivement opposés aux angles $\mathrm {A,B,C} .$

Entre les $6$ éléments $a,b,c,\mathrm {A,B,C} ,$ nous avons les relations suivantes :

${\begin{array}{rcl}{\text{I}}.&{\text{angle A+angle B+angle C=2 angles droits}}&({\text{n° }}170)\\{\text{II}}.&\left\{{\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \mathrm {A} \\b^{2}&=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \mathrm {B} \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \mathrm {C} \end{aligned}}\right.&{\text{(n° }}217-8)\\{\text{III}}.&{\cfrac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\cfrac {b}{\sin \mathrm {B} }}={\cfrac {c}{\sin \mathrm {C} }}&({\text{n° }}219)\\{\text{IV}}.&\left\{{\begin{aligned}a&=c\cos \mathrm {B} +b\cos \mathrm {C} \\b&=a\cos \mathrm {C} +c\cos \mathrm {A} \\c&=b\cos \mathrm {A} +a\cos \mathrm {B} \end{aligned}}\right.&{\text{(n° }}220)\end{array}}$

1. On démontre que la valeur commune des trois rapports est la longueur du diamètre du cercle circonscrit au triangle $\mathrm {ABC}$ (voir 190).