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Blaise Pascal résolut la même question en 1654, et il exposa sa méthode dans un traité latin intitulé Potestatum numericarum Summa ^[1].

17. — Nous allons, à titre d’exemple, effectuer le calcul de la somme des carrés des n premiers nombres par une méthode qui ne diffère pas au fond de celle de Pascal et qui se laisse facilement étendre au cas des puissances supérieures. Désignons par le symbole $S$ la somme des n premiers nombres, par le symbole ^[2]$S_{2}$ la somme inconnue des carrés de ces nombres, par le symbole $S_{3}$, la somme inconnue de leurs cubes.

Nous allons nous servir d’une formule que nous établirons plus loin, mais dont il nous est facile de vérifier dès maintenant l’exactitude en effectuant deux multiplications successives^[3]. Désignant par p un nombre quelconque, nous avons l’égalité

$(1+p)^{3}=1+3\times p+3\times p^{2}+p^{3}$,

Faisant successivement, dans cette égalité, $p=0,p=1,...,p=n$, nous obtenons le tableau :

$1$	$=$	$1$
$(1+1)^{3}$	$=$	$1+(3\times 1)+(3\times 1^{2})+1^{3}$
$(1+2)^{3}$	$=$	$1+(3\times 2)+(3\times 2^{2})+2^{3}$
. . . . . .	=	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .	=	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
$(1+n)^{3}$	$=$	$1+(3\times n)+(3\times n^{2})+n^{3}$

Additionnons colonne par colonne. À gauche des signes $=$, nous avons $n+1$ nombres cubes consécutifs dont la somme n’est autre que : $S_{3}+(1+n)^{3}$. À droite nous avons :

$n$ fois l’unité,

plus le produit $3\times (1+2+...+n)$, c’est-à-dire $3\times S$ ;
plus le produit $3\times (1^{2}+2^{2}+...+n^{2})$, c’est-à-dire $3\times S_{2}$ ;
plus la somme $1^{3}+2^{3}+...+n^{3}$, c’est-à-dire $S_{3}$.

1. Traité posthume publié en 1665, Œuv., t. III, p. 341 et suiv.
2. Ce symbole se lit S indice 2.
3. On vérifie la formule en effectuant le produit :
   $(1+p)\times (1+p)\times (1+p)$.