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Une fonction — explicite ou implicite — $y$ de $x$ sera regardée comme ayant plusieurs branches s’il y a des droites parallèles à l’axe des $y$ qui coupent la courbe représentative en plusieurs points [traduisons : s’il y a plusieurs points de la courbe qui ont même abscisse, ou, en d’autres termes, si à une même valeur de $x$ (dans certains intervalles tout au moins) correspondent plusieurs valeurs de $y$ (n^o 395)]. Appelons $\mathrm {M} _{1}$ et $\mathrm {M} _{2}$ deux points d’une même courbe représentative ayant même abscisse (segment $\mathrm {OP} )\,:$ lorsque l’extrémité, $\mathrm {P} ,$ du segment-abscisse, se déplacera sur l’axe des $x,$ chacun des points $\mathrm {M} _{1}$ et $\mathrm {M} _{2}$ décrira une branche de la courbe (fig. 198).

Fig. 197                                                  Fig. 198

Exemple. — La fonction $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ [définie par la relation $x^{2}+y^{2}=0,$ n^o 547] — ou, pour parler géométriquement, la courbe qui représente cette fonction — a deux branches, l’une au-dessus de l’axe des $x,$ l’autre au-dessous : les deux branches se rejoignent sur l’axe des $x$ aux points d’abscisses $+1$ et $-1.$

551. Intervalles où la fonction n’existe pas. — Si aux valeurs de $x$ situées dans un certain intervalle $a,b,$ ne correspond aucune valeur de $y,$ la fonction n’existe pas dans cet intervalle : il n’y a alors aucune branche de courbe entre les parallèles à l’axe des menées par les extrémités des abscisses $a$ et $b\,;$ et réciproquement.

Ainsi à la relation implicite $x^{2}+y^{2}=0$ ne correspond géométriquement qu’un point, l’origine des coordonnées en effet la fonction $y={\sqrt {-x^{2}}}$ n’existe que si $x=0$ (pour toute autre valeur de $x,\ -x^{2}$ n’a pas de racine carrée).

552. Continuité. — La continuité — telle que nous l’avons caractérisée au n^o 396 — est un attribut essentiel de la notion de courbe