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Fonction $y={\frac {1}{x^{2}}}.$ Cette fonction a un pôle pour $x=0\,;$ mais, à l’inverse des précédentes, elle ne saute pas de $+\infty$ à $-\infty$ lorsque $x$ traverse la valeur $0\,:$ elle est en effet positive pour toute valeur de $x\,:$ la courbe a l’allure représentée par la figure 200^[1].

Fig. 199. Fig. 200.

554. Dérivée : coefficient angulaire de la tangente à la courbe représentative. — Nous avons défini au § 2 du Chap. ii, « la dérivée d’une fonction de $x$ » pour une valeur quelconque de la variable (pour laquelle la fonction est supposée définie, continue, univoques). En vue d’interpréter géométriquement cette dérivée, reportons-nous à sa définition.

↑ Les circonstances que nous venons d’indiquer se présenteront pour toutes les fonctions rationnelles de $n.$ Considérons, en effet, une fonction rationnelle quelconque, décomposée sous la forme (3) du n^o 374 ; les pôles de a fonction sont évidemment les valeurs de $x$ qui annulent les dénominateurs des fractions simples figurant dans la décomposition, c’est-à-dire les valeurs $x_{1},x_{2},\ldots x_{p},$ du n^o 374. Envisageons l’une quelconque de ces valeurs, soit $x_{1},$ qui est supposée racine d’ordre $\alpha _{1}$ de $\operatorname {A} (x).$ L’identité du n^o 374, nous donne d’après la note i de la page 548,

${\frac {\operatorname {B} (x)}{\operatorname {A} (x)}}={\frac {c_{1}\alpha _{1}[\ldots ]}{(x-x_{1})^{\alpha _{1}}}}$

où tous les termes entre crochets sont nuls pour $x=x_{1}$ (cf I, 9, p. 6-7, note). On en conclut que pour les valeurs de $x$ très voisines de $x_{1},$ la fraction ${\frac {\operatorname {B} (x)}{\operatorname {A} (x)}}$ [et par conséquent, aussi, la somme de cette fraction et d’un polynome $\operatorname {P} (x),$ qui conserve une valeur finie pour $x=x_{1}]$ a pour signe le signe de la fraction très grande en valeur absolue ${\frac {c_{1}\alpha _{1}}{(x-x_{1})^{\alpha _{1}}}}.$ En conséquence, la fonction saute de $+\infty$ à $-\infty$ (comme dans le cas de la figure 199) ou conserve au contraire le même signe (comme dans le cas de la fig. 200) lorsque $x$ traverse le pôle.

[1] Les circonstances que nous venons d’indiquer se présenteront pour toutes les fonctions rationnelles de $n.$ Considérons, en effet, une fonction rationnelle quelconque, décomposée sous la forme (3) du n^o 374 ; les pôles de a fonction sont évidemment les valeurs de $x$ qui annulent les dénominateurs des fractions simples figurant dans la décomposition, c’est-à-dire les valeurs $x_{1},x_{2},\ldots x_{p},$ du n^o 374. Envisageons l’une quelconque de ces valeurs, soit $x_{1},$ qui est supposée racine d’ordre $\alpha _{1}$ de $\operatorname {A} (x).$ L’identité du n^o 374, nous donne d’après la note i de la page 548,

${\frac {\operatorname {B} (x)}{\operatorname {A} (x)}}={\frac {c_{1}\alpha _{1}[\ldots ]}{(x-x_{1})^{\alpha _{1}}}}$

où tous les termes entre crochets sont nuls pour $x=x_{1}$ (cf I, 9, p. 6-7, note). On en conclut que pour les valeurs de $x$ très voisines de $x_{1},$ la fraction ${\frac {\operatorname {B} (x)}{\operatorname {A} (x)}}$ [et par conséquent, aussi, la somme de cette fraction et d’un polynome $\operatorname {P} (x),$ qui conserve une valeur finie pour $x=x_{1}]$ a pour signe le signe de la fraction très grande en valeur absolue ${\frac {c_{1}\alpha _{1}}{(x-x_{1})^{\alpha _{1}}}}.$ En conséquence, la fonction saute de $+\infty$ à $-\infty$ (comme dans le cas de la figure 199) ou conserve au contraire le même signe (comme dans le cas de la fig. 200) lorsque $x$ traverse le pôle.

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