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disons alors que la classe des nombres rationnels comprend comme sous-classes la classe des nombres entiers et la classe des nombres fractionnaires.

Voilà donc que d’un trait de plume nous avons considérablement accru le domaine de la science des nombres. La belle harmonie de re domaine n’y perdra rien, car nous pouvons étendre à la classe des nombres rationnels beaucoup de propriétés les plus importantes, peut-être - des nombres entiers. Ainsi la définition d’une médiété (n^o 20), d’une progression arithmétique on géométrique (n^os 15 et 21), l’expression de la somme des $n$ premiers termes d’une telle progression^[1] peuvent être transportées, sans modification aucune, du monde des nombres entiers au monde des nombres rationnels.

39. Nombres croissants ou décroissants. – De deux nombres entiers quelconques l’un est toujours plus petit que l’autre. Pour exprimer que le nombre $a$ est plus petit que le nombre $b,$ nous écrivons ainsi

{\begin{aligned}&a<b\,;\\{\text{ainsi}}\qquad \qquad \qquad \qquad &2<3.\end{aligned}}

pour exprimer que $a$ est plus grand que $b,$ nous écrivons

{\begin{aligned}&a>b\,;\\{\text{ainsi}}\qquad \qquad \qquad \qquad &5>4.\end{aligned}}

Considérons maintenant deux fractions quelconques, ${\frac {\mathrm {M} }{m}},{\frac {\mathrm {N} }{n}}.$ Il résulte de la définition de la soustraction qu’une seule de ces deux fractions peut être retranchée de l’autre ; ce sera la première si $\mathrm {N} \times m$ est plus grand que $\mathrm {M} \times n,$ la seconde si

↑ La formule du n^o 21 donnant la somme des $n$ premiers termes d’une progression géométrique, n’est toutefois valable que si la raison $b$ est supérieure à $1.$ Si $b<1,$ cette formule doit être, ainsi que le montre un calcul facile, remplacée par la suivante : $a_{1}\times {\frac {1-b^{n}}{1-b}}$ (vide infra, p. 154).

[1] La formule du n^o 21 donnant la somme des $n$ premiers termes d’une progression géométrique, n’est toutefois valable que si la raison $b$ est supérieure à $1.$ Si $b<1,$ cette formule doit être, ainsi que le montre un calcul facile, remplacée par la suivante : $a_{1}\times {\frac {1-b^{n}}{1-b}}$ (vide infra, p. 154).

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