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Soit, d’autre part, $p$ un entier quelconque ; si^[1][2] $a>1,$ on a $a^{p}>1\,;$ si $a<1,$ on a $a^{p}<1\,;$ si $a<b,$ on a ${\displaystyle }$ z2() $a^{p}<b^{p}\,;$ on en déduit que sì $a<b$ on a ${\sqrt[{p}]{a}}<{\sqrt[{p}]{b}}.$

Lorsque le nombre $p$ est très grand, la puissance $a^{p}$ est un nombre très grand si $a>1,$ un nombre très petit si $a<1\,;$ et plus $p$ devient grand, plus $a^{p}$ devient grand ou petit^[3].

41. Division par zéro. – Soit $m$ un nombre rationnel très petit. Le quotient par $m$ d’un nombre quelconque $a$ est égal an produit de $a$ par l’inverse ${\frac {1}{m}}$ du nombre $m,$ et cet inverse est un nombre très grand lorsque $m$ est très petit. J’en conclus que, pour un même nombre $a,$ plus $m$ est petit, plus le quotient ${\frac {a}{m}}$ est grand. Si $m$ devenait nul, le quotient ${\frac {a}{m}}$ n’existerait plus, et, en effet, ce quotient devrait être un nombre plus grand que tous les nombres. On convient de dire, pour rappeler ce fait, que « la division d’un nombre quelconque $a$ par $0$ donne pour quotient un nombre infini » et l’on écrit symboliquement ${\frac {a}{0}}=\infty ,$ le signe $\infty$ signifiant nombre infini.

Que l’on ajoute un nombre quelconque à ce quotient, ou qu’on le multiplie par un nombre quelconque, le résultat sera toujours un nombre infini, car, comme le disait l’arithméticien hindou Bhaskara^[4], « à la quantité appelée quotient par zéro, ni addition, ni soustraction quelque grande qu’elle soit ne peut faire éprouver perte on accroissement, pas plus qu’au temps sans fin et sans déclin des séries d’existence ».

1. Appelons $c$ le rapport ${\frac {b}{a}}$ qui est plus grand que $1\,;$ $b^{p}$ est égal à $c\times a^{p},$ où $c^{p}>1\,:$ donc $b^{p}>a^{p}.$
2. Un produit de facteurs plus grands que $1,$ est, en effet, supérieur à $1\,;$ un produit de facteurs plus petits que $1$ est inférieur à $1.$
3. En faisant le produit des facteurs ‹égaux) de plus en plus nombreux et tous supérieurs à son obtient un nombre de plus en plus grand ; si les facteurs sont inférieurs à $1,$ le nombre est de plus en plus petit.
4. Cf. Rodet, Journal asiatique, t. XI, p. 30.