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chimède (287-212 av. J.-C.) consacra au calcul approché des racines carrées quelques-uns de ses plus beaux travaux^[1]. Aux environs de l’an 1200, l’algébriste arabe, Omar al Khayyam^[2] se vantait d’avoir donné une méthode permettant d’effectuer l’extraction d’une racine d’ordre quelconque. À l’époque de la Renaissance, enfin, où de fortes tendances utilitaristes tendent à remettre en honneur l’Arithmétique pratique, le calcul approché est devenu – définitivement cette fois – l’un des chapitres principaux de la science des nombres.

50. Généralisation de la notion de puissance. Exposants fractionnaires. – Grâce aux conventions que nous avons faites, toutes nos opérations ont maintenant un sens, exact on approché, quels que soient les nombres (entiers ou rationnels) sur lesquels elles portent. Seules les deux dernières opérations (élévation aux puissances et extraction des racines) sont encore soumises à une restriction en ce qui concerne les exposants et l’« ordre des racines » : en effet, les symboles $a^{p},{\sqrt[{p}]{a}}$ ne représentent des opérations légitimes que si le nombre $p$ est un entier. Ne serait-il pas possible d’imaginer une nouvelle convention qui confère un sens à ces symboles dans le cas où le nombre $p$ est fractionnaire ? Notre arithmétique y gagnerait en unité et en clarté.

Nous réaliserons ce progrès en fondant en une les deux opérations de l’élévation aux puissances et de l’extraction des racines.

Convenons de poser, quels que soient les entiers $m$ et $n,$ et le nombre $a\,:$

${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}},\qquad {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}.$

Je dis que les « puissances à exposants fractionnaires » $a^{\frac {1}{n}},\,a^{\frac {m}{n}}.$ jouissent des mêmes propriétés fondamentales que les puissances ordinaires, qu’elles se comportent semblablement dans les calculs, et que, par conséquent, la convention en vertu de laquelle nous les regardons comme des puissances est une convention légitime.

1. Cf. Holtsch, Die Näherungswerte irration, Quadratwurzeln bei Archimedes, Abh. der Kgl. Gesellsch. d. Wissench. zu Göttingen. 1893.
2. Cf. Tropfke, Gesch. d. El. Math., I, p. 211 et infra, n^o 273.