La victoire sur cette fausse aristocratie des principes donne au savant la liberté dans le choix des axiomes. La seule chose qui lui soit imposée, c’est la cohérence logique des axiomes entre eux et la cohérence des propositions avec les axiomes. De là dans doute une grande variété et de grands débats sur la structure des mathématiques et des sciences en général, depuis le formalisme pur de l’école de Vienne, qui ne voit dans la science qu’un langage dont on doit formuler la syntaxe et où il est question du sens (et non de la vérité ou fausseté) des propositions jusqu’à l’intuitionnisme de Brouwer pour qui l’objet des mathématiques est l’objet réel lui-même dépouillé de ses qualités. Ce que je veux en retenir, c’est la place accordée aux axiomes ; tandis que les uns pensent pouvoir déterminer les axiomes nécessaires et suffisants pour en déduire toutes les propositions mathématiques, les autres veulent seulement aller de l’avant, et, selon qu’ils échouent ou réussissent, remonter à leurs principes pour saisir les conditions de cet échec ou de cette réussite. On le voit, la valeur de principes est jugée non pas en elle-même, mais par une capacité de démontrer qui ne sera saisie qu’à l’épreuve ; la démonstration n’est pas à leur service, ils sont au service de la démonstration.
On pourrait dire la même chose d’un des
