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CHAPITRE II.

ÉQUATIONS DU MOUVEMENT LENT D’UN FLUIDE VISQUEUX.

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A. ÉQUATIONS INTÉRIEURES.

17. Équations du mouvement d’un fluide. — Sans nous préoccuper des mouvements intérieurs analogues à la diffusion, dans lesquels les théories moléculaires trouvent l’explication de la viscosité des fluides, nous supposons, comme dans l’Hydrodynamique classique, qu’on puisse diviser arbitrairement le fluide en un nombre immense de très petits volumes élémentaires où le fluide soit homogène et continu et à l’intérieur desquels il n’y ait pas de mouvements relatifs, et nous traitons ces volumes comme infiniment petits.

Nous supposons, en outre, les mouvements assez lents pour que la loi élémentaire, relative aux forces de frottement, déduite des expériences de Coulomb soit applicable.

Soient $u,~v,~w$ les projections sur trois axes rectangulaires fixes de la vitesse d’un élément de volume de liquide dont le centre de gravité passe, au temps t, au point $x,~y,~z$.

$u,~v,~w$ sont des fonctions de $x,~y,~z,~t$.

Si l'on suit une masse liquide dans son mouvement, l’accélération de son centre de gravité ${\frac {du}{dt}},~{\frac {dv}{dt}},~{\frac {dw}{dt}}$ au temps $t$, est donnée, comme on sait depuis Euler, par les équations établies dans tous les Traités de Mécanique :

${\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}&={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}},\\{\frac {dv}{dt}}&={\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}},\\{\frac {dw}{dt}}&={\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}.\end{aligned}}$

Nous noterons par $X_{x},~Y_{x},~Z_{x}$ les forces qu’exerce à travers l’unité