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Il y a donc un trièdre trirectangle ayant pour sommet le point M, qui reste trirectangle pendant la déformation et donne les trois axes de l’ellipsoïde. Dans la déformation rapportée à ces trois axes, les glissements correspondants sont nuls. La déformation est définie par la direction de ces axes, et la grandeur des dilatations linéaires correspondantes, qu’on appelle dilatations principales.

On appelle ces axes directions principales. Elles changent d’un point à l’autre du fluide et, en un même point, varient avec le temps.

23. Relations entre les forces et les vitesses rapportées au trièdre principal. — Nous venons de trouver deux groupes de trois plans principaux rectangulaires, l’un par rapport auquel les vitesses de déformation se groupent symétriquement, l’autre par rapport auquel les forces élastiques se groupent symétriquement.

D’autre part, pour un liquide dont l’équilibre est rigoureusement défini par les lois de l’hydrostatique, rien n’indique que les forces de viscosité dépendent d’autre chose que des vitesses de déformation.

Dans ces conditions les éléments de symétrie des forces élastiques et des vitesses de déformation ne peuvent pas différer. Les deux trièdres de plans principaux coïncident.

Prenons-les pour trièdres de références. Le Tableau des forces et celui des vitesses de déformation se réduisent à

${\begin{pmatrix}N_{1}&0&0\\0&N_{2}&0\\0&0&N_{3}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}u_{x}'&0&0\\0&v_{y}'&0\\0&0&w_{z}'\end{pmatrix}}$

en appelant x, y, z les axes et u, v, w les composantes de la vitesse par rapport à ces axes.

Il résulte des expériences de Coulomb que, pour les mouvements lents, les relations sont linéaires.

On a donc

${\begin{aligned}N_{1}&=-p+\alpha _{1}u_{x}'+\beta _{1}v_{y}'+\gamma _{1}w_{z}'\\N_{2}&=-p+\alpha _{2}u_{x}'+\beta _{2}v_{y}'+\gamma _{2}w_{z}'\\N_{3}&=-p+\alpha _{3}u_{x}'+\beta _{3}v_{y}'+\gamma _{3}w_{z}'\end{aligned}}$

en appelant $p$ la pression isotrope indépendante des vitesses de déformation, mais fonction de la densité.

Les neuf coefficients spécifiques $\alpha _{1},\cdots ,\gamma _{3},$, qui ne dépendent plus des vitesses de déformation, ne peuvent pas être tous différents.