Il en résulte, si l’on pose P = c, que, pour trois nombres cardinaux a, b, c quelconques, on a :
(8) | ab.ac = ab + c |
(9) | ac.bc = (ab)c |
(10) | (ab)c = ab.c |
On reconnaîtra par l’exemple suivant combien ces formules simples, étendues aux puissances, sont instructives et d’une grande portée.
Désignons par 𝔬 la puissance du continu linéaire X (c’est-à-dire de l’ensemble X de tous les membres réels x qui sont ≥ 0 et ≤ 1. On s’assure facilement que 𝔬 peut être représenté par la formule
(11) | 𝔬 = 2ℵ0. |
ℵ0 étant le nombre défini au § 6.
En effet, d’après (4), 2ℵ0 n’est pas autre chose que la puissance de l’ensemble de toutes les représentations
(12) | x = f(1)2 + f(2)22 + … + f(ν)2ν + … (où f(ν) = 0 ou 1). |
des nombres x dans le système de numération dont la base est 2. Si nous remarquons, de plus, qu’il n’y a pour chaque nombre x qu’une seule manière de les représenter ainsi, sauf pour les nombres
pour lesquels il y a deux manières, nous voyons qu’en représentant par {sν} l’ensemble « dénombrable » de ces derniers on a :
Supposons que l’on retranche de X un ensemble dénombrable quelconque {tν} et désignons le reste par X1, on a :