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Enfîn de (1) et (5) résulte aussi facilement la loi distributive

(8)

α(β + γ) = α.β + α.γ,

mais seulement dans le cas où c’est le multiplicateur qui est une somme.

Au contraire, la loi commutative n’est pas plus vraie pour la multiplication que pour l’addition.

Par exemple, 2.ω et ω.2 sont des types différents ; car, d’après (5)

2.ω = (e₁, f₁ ; e₂, f₂ ; … ; e_ν, f_ν ; …) = ω ;

tandis que

ω.2 = (e₁, e₂, …, e_ν, … ; f₁, f₂, …, f_ν, …),

qui est évidemment différent de ω.

Si l’on compare les définitions des opérations élémentaires sur les nombres cardinaux données au § 3 avec celles données ici pour les types, on reconnaît facilement que le nombre cardinal d’une somme de deux types est égal à la somme des nombres cardinaux des types isolés et que le nombre cardinal du produit de deux types est égal au produit des nombres cardinaux de ces types.

Toute équation entre les types résultant des deux opérations élémentaires reste donc vraie lorsque l’on y remplace chaque type par son nombre cardinal.

§ 9. — Le type η de l’ensemble R de tous les nombres rationnels, plus grands que 0 et plus petits que 1, rangés par grandeur croissante.

Nous désignons par R, comme au § 7, l’ensemble de tous les nombres rationnels p/q (p et q étant premiers entre eux) qui