3o M est partout dense ;
Le type de M est égal à η.
Démonstration. — En vertu de la première condition, M peut être mis sous la forme d’un ensemble bien ordonné de type ω ; nous le désignons alors par M0 et nous posons
| (5) | M0 = (m1, m2, …, mν, …) |
Nous avons à montrer maintenant que
| (6) | M ≃ R. |
C’est-à-dire qu’il nous faut prouver que l’on peut représenter M sur R, de façon que l’ordre de succession de deux éléments de M soit le même que celui des deux éléments correspondants de R.
À l’élément r1 de R on peut faire correspondre l’élément m1 de M.
r2 a, relativement à r1, une certaine position dans R ; en vertu de la condition (2) il y a une infinité d’éléments mν de M qui ont avec m1 la même relation dans M que r2 avec r1 dans R ; nous choisissons parmi eux celui qui a dans M0 le plus petit indice, soit mt2, et nous l’adjoignons à r2.
r3 a dans R certaines relations de rang avec r1 et r2 ; en vertu des conditions (2) et (3) il y a une infinité d’éléments mν de M qui ont les mêmes relations avec m1 et m2 dans M que r3 avec r1 et r2 dans R ; nous choisissons parmi eux celui qui a dans M0 le plus petit indice mt3 et nous l’adjoignons à r3.
Supposons que l’on continue ainsi l’adjonction ; les éléments
de R ont pour images des éléments déterminés
de M qui ont entre eux le même ordre de succession dans M
