Un ensemble qui est à la fois dense et enchaîné est dit un ensemble parfait (perfecte Menge).
Si un ensemble possède l’un quelconque de ces trois attributs, il en est de même de tout ensemble semblable ; ce sont donc aussi des propriétés des types correspondants et il y a, par suite, des types denses, des types enchaînés, des types parfaits et aussi des types partout denses (§ 9).
Par exemple, η est un type dense ; d’après le § 9, il est aussi partout dense, mais il n’est pas enchaîné.
ω et *ω n’ont aucun élément principal ; au contraire, ω + ν et ν + *ω ont chacun un élément principal et sont des types enchaînés.
Le type ω.3 a deux éléments principaux, mais n’est pas enchaîné ; le type ω.3 + ν a trois éléments principaux et est enchaîné.
§ 11. — Le type θ du continu linéaire X.
Nous arrivons maintenant à l’étude du type de l’ensemble X = {x} de tous les nombres réels x qui sont ≥ 0 et ≤ 1, rangés dans leur ordre naturel, de sorte que pour deux éléments arbitraires x et x′ on ait :
| (1) | x ≺ x′ dans le cas où x < x′. |
Soit θ ce type.
| (2) | X = θ. |
La théorie élémentaire des nombres rationnels et irrationnels montre que chaque série fondamentale {xν} de X a un élément limite ν0 dans X, et que, réciproquement, tout élément x de X est un élément limite de séries fondamentales liées de X. Donc X est un ensemble parfait, θ est un type parfait.
Mais cela ne caractérise pas encore suffisamment θ, nous avons à considérer bien plus encore la propriété suivante de X :
X contient l’ensemble R de η étudié au § 9, et même de telle
