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D’ailleurs
{ν0ν} ǁ {ν}
lim. ν0ν = lim. ν = ω.
Donc
ν0ω = ω.
G. Si α est un nombre de la deuxième classe, ν0 nombre de la première y on a toujours
(α + ν0)ω = αω.
Démonstration. — Nous avons
lim. ν = ω.
Donc, d’après (24), § 14,
(α + ν0)ω = lim. (α + ν0)ν.
Mais on a
(α + ν0)ν = (α +1 ν0) + (α +2 ν0) + … + (α +ν ν0)
= α + (ν0 +1 α) + (ν0 +2 α) + … + (ν0 +ν−1 α) + ν0
= α + α + α + … + α + ν0
= αν + ν0.
= α + (ν0 +1 α) + (ν0 +2 α) + … + (ν0 +ν−1 α) + ν0
= α + α + α + … + α + ν0
= αν + ν0.
Il est maintenant facile de voir que
{αν + ν0ν} ǁ {αν}
et par suite que
(α + ν0)ω = lim. (α + ν0)ν = lim. αν = αω.
H. Si α est un nombre quelconque de la deuxième classe, l’ensemble {α′} de tous les nombres α′ des première et deuxième classes qui sont plus petits que α, rangés par ordre de grandeur croissante, est un ensemble bien ordonné de type α.
Démonstration. — Soit F un ensemble bien ordonné tel que F = α, et f1 l’élément initial de F. Si α′ est un nombre
