Démonstration. — Dans les cas ξ = 0, ξ = 1, le théorème est évident. Nous allons montrer que s’il est vrai pour toutes les valeurs de ξ plus petites que α > 1, il est aussi vrai pour α.
Si α est de la première espèce, on a par hypothèse :
et par suite :
ou
Puisque α1 et γ − 1 sont au moins égaux à 1 et que α1 + 1 = α, on a :
Si, au contraire, α est de la deuxième espèce, et si
αν est plus petit que α et l’on a, en vertu de l’hypothèse faite,
et par suite
c’est-à-dire :
S’il y avait des valeurs de ξ pour lesquelles ξ > γξ, l’une d’elles devrait être la plus petite ; désignons-la par α. Pour toutes les valeurs de ξ < α, on aurait
et au contraire
ce qui est en contradiction avec ce qui vient d’être démontré. Nous avons ainsi pour toutes les valeurs de ξ