Page:Cauchy - Œuvres complètes, 1882, Série 2, Tome 3.djvu/106

94

COURS D’ANALYSE.

rateur de la fraction qui exprime le nombre des combinaisons possibles de $x+y$ lettres prises $n$ à $n,$ puisque ce nombre est précisément

${\frac {(x+y)(x+y-1)(x+y-2)\ldots (x+y-n+1)}{1.2.3\ldots n}}.$

Cela posé, concevons que les lettres

$a,\quad b,\quad c,\quad \ldots ,\quad p,\quad q,\quad r,\quad \ldots$

étant en nombre égal à $x+y,$ on les divise en deux groupes, de telle manière que les lettres $a,b,c,\ldots$ du premier groupe soient en nombre égal à $x,$ et les lettres $p,q,r,\ldots$ du second groupe en nombre égal à $y.$ Parmi les combinaisons formées avec ces différentes lettres, les unes renfermeront seulement des lettres prises dans le premier groupe. Le nombre des combinaisons de cette espèce sera

${\frac {x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots n}}.$

D’autres renfermeront $n-1$ lettres prises dans le premier groupe, et une lettre prise dans le second. On déterminera facilement le nombre des combinaisons de cette seconde espèce, et l’on verra qu’il est égal à

${\frac {x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {y}{1}}.$

On trouvera de même pour le nombre des combinaisons qui renferment $n-2$ lettres prises dans le premier groupe, et deux lettres prises dans le second,

${\frac {x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+3)}{1.2.3\ldots (n-2)}}{\frac {y(y-1)}{1.2}},$

etc.; enfin, pour le nombre des combinaisons qui renferment seulement des lettres prises dans le dernier groupe,

${\frac {y(y-1)(y-2)\ldots (y-n+1)}{1.2.3\ldots n}}.$

La somme des nombres des combinaisons de chaque espèce devant