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On tirera de cette dernière équation (à l’aide du théorème I, § II)

$r^{n}=1,$

$\cos nt+{\sqrt {-1}}\sin nt=1,$

et, par suite,

$r=1,$

$\cos nt=1,\qquad \sin nt=0,\qquad nt=\pm 2k\pi ,$

$t=\pm {\frac {2k\pi }{n}},$

$k$ représentant un nombre entier quelconque. Les quantités $r$ et $t$ étant ainsi déterminées, les diverses valeurs propres à vérifier l’équation (1) seront évidemment comprises dans la formule

(2)

$x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}.$

En d’autres termes, les diverses valeurs de $((1))^{\frac {1}{n}}$ seront données par l’équation

(3)

$((1))^{\frac {1}{n}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}.$

Soit maintenant $h$ le nombre entier le plus rapproché du rapport ${\frac {k}{n}}.$ La différence entre les deux nombres $h,$ ${\frac {k}{n}}$ sera tout au plus égale à ${\frac {1}{2}},$ en sorte qu’on aura

${\frac {k}{n}}=h\pm {\frac {k'}{n}},$

${\frac {k'}{n}}$ désignant une fraction égale ou inférieure à ${\frac {1}{2}},$ et, par suite, $k'$ un nombre entier inférieur ou tout au plus égal à ${\frac {n}{2}}.$ On en conclura

${\frac {2k\pi }{n}}=2h\pi \pm {\frac {2k'\pi }{n}},$

$\cos {\frac {2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k\pi }{n}}=\cos {\frac {2k'\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k'\pi }{n}}.$

Par conséquent, toutes les valeurs de $((1))^{\frac {1}{n}}$ seront comprises dans la formule

$\cos {\frac {2k'\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2k'\pi }{n}},$