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h désignant un nombre entier. Or on tire de cette équation

$h={\frac {m(\pm k'\pm k'')}{n}}.$

Il faudrait donc, puisque $m$ est premier à $n,$ que $\pm k'\pm k''$ fut divisible par $n,$ ce qu’on ne saurait admettre, attendu que, les nombres $k',k''$ étant inégaux, et chacun d’eux ne pouvant surpasser ${\frac {1}{2}}n,$ leur somme ou leur différence est nécessairement inférieure à $n.$ Ainsi, deux valeurs différentes de $k$ comprises entre les limites $0$ et ${\frac {1}{2}}n$ fournissent deux valeurs différentes de

$\cos {\frac {m.2k\pi }{n}}.$

On conclut aisément de cette remarque, que les valeurs réelles ou imaginaires de l’expression $((1))^{\frac {m}{n}}$ données par l’équation (6) sont en même nombre que les valeurs réelles ou imaginaires de $((1))^{\frac {1}{n}}$ déterminées par l’équation (3). De plus, comme on a évidemment

$\left(\cos {\frac {m.2k\pi }{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {m.2k\pi }{n}}\right)^{n}=\cos(m.2k\pi )\pm \sin(m.2k\pi )=1,$

il en résulte que toute valeur de $((1))^{\frac {m}{n}}$ est une expression réelle ou imaginaire dont la puissance $n$ équivaut à l’unité, par conséquent une valeur de $((1))^{\frac {1}{n}}.$ Ces observations conduisent à la formule

(7)

$((1))^{\frac {m}{n}}=((1))^{\frac {1}{n}},$

dans laquelle le signe $=$ indique seulement que l’une des valeurs du premier membre est toujours égale à l’une des valeurs du second.

Problème III. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l’expression

$((1))^{-{\frac {m}{n}}}.$

Solution. — On aura, d’après la définition des puissances négatives,

$((1))^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{((1))^{\frac {m}{n}}}},$