Page:Cauchy - Œuvres complètes, 1882, Série 2, Tome 3.djvu/207

devient irrationnelle. En conséquence, nous conviendrons de désigner par

$(\alpha +\beta {\sqrt {-1}})^{a}$

le produit $\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right),$ dans le cas où a sera positif, quelle que soit la valeur réelle attribuée à la quantité $a.$ En d’autres termes, si l’on désigne par $\zeta$ un arc compris entre les limites $-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}},$ on aura, quel que soit $a,$

$\left[\rho \left(\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right)\right]^{a}=\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right).$

Si dans l’équation précédente on fait $\rho =1,$ elle deviendra

(28)

$\left(\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right)^{a}=\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta .$

Cette dernière formule est entièrement semblable aux équations (10) et (14) du § II, avec cette seule différence qu’elle subsiste uniquement pour des valeurs de comprises entre les limites $-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}},$ tandis que les équations dont il s’agit s’étendent à des valeurs quelconques de $\theta .$

Lorsque la quantité $\alpha$ devient négative, on ne voit plus, même en supposant fractionnaire la valeur numérique de $a,$ quelle est celle des valeurs de l’expression $\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}$ que l’on pourrait distinguer des autres et désigner par la notation

$\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)^{a}.$

Mais alors, $-\alpha$ étant une quantité positive, il est facile d’établir, pour des valeurs quelconques de $a,$ la formule

(29)

$\left(-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)^{a}=\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right).$

Nous terminerons ce paragraphe en faisant observer que, dans le cas où la valeur numérique de $a$ devient fractionnaire, les formules (27) et (29) réduisent les équations (18) et (23) à celles qui suivent

${\begin{array}{ll}({\text{30}})\qquad \qquad &\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}=\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)^{a}((1))^{a},\\({\text{31}})&\left(\left(\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\right)^{a}=\left(-\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)^{a}((-1))^{a},\end{array}}$