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puis, en supposant que la fraction ${\frac {m}{2^{n}}}$ varie de manière à s’approcher indéfiniment du nombre $\mu ,$ et passant aux limites, on obtiendra les équations

$\varphi (\mu x)=\rho ^{\mu }\cos \mu \zeta ,\qquad \chi (\mu x)=\rho ^{\mu }\sin \mu \zeta ,$

desquelles on conclura

(8)

$\varpi (\mu x)=\rho ^{\mu }(\cos \mu \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \mu \zeta ).$

De plus, si dans l’équation (2) on pose

$x=\mu \alpha ,\qquad y=-\mu \alpha ,$

on en tirera

$\varpi (-\mu \alpha )={\frac {\varpi (0)}{\varpi (\mu \alpha )}}=\rho ^{-\mu }\left[\cos(-\mu \zeta )+{\sqrt {-1}}\sin(-\mu \zeta )\right].$

La formule (8) subsistera donc lorsqu’on y remplacera $\mu$ par $-\mu .$ En d’autres termes, on aura, pour des valeurs réelles quelconques positives ou négatives de la variable $x,$

(9)

$\varpi (\alpha x)=\rho ^{x}\left[\cos \zeta x+{\sqrt {-1}}\sin \zeta x\right]=\left[\varpi (\alpha )\right]^{x}.$

Si dans cette dernière formule on écrit ${\frac {x}{\alpha }}$ au lieu de $x,$ elle deviendra

(10)

$\varpi (x)=\rho ^{\frac {x}{\alpha }}\left[\cos \left({\frac {\zeta }{\alpha }}x\right)+{\sqrt {-1}}\sin \left({\frac {\zeta }{\alpha }}x\right)\right]=\left[\varpi (\alpha )\right]^{\frac {x}{\alpha }}\,;$

et si l’on fait ensuite, pour abréger,

(11)

$\rho ^{\frac {1}{\alpha }}=\mathrm {A} ,\qquad {\frac {\zeta }{\alpha }}=b,$

on trouvera

(12)

$\varpi (x)=\mathrm {A} ^{x}\left(cosbx+{\sqrt {-1}}\sin bx\right).$

Ainsi toute valeur de $\varpi (x),$ propre à résoudre la question proposée, sera nécessairement de la forme

$\mathrm {A} ^{x}\left(\cos bx+{\sqrt {-1}}\sin bx\right),$

$\mathrm {A} ,b$ désignant deux constantes réelles, dont la première ne pourra