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la valeur de $s$ étant toujours donnée par la formule (18). Si dans l’équation précédente on développe les deux facteurs du second membre en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de $\mu ,$ puis, que l’on effectue le produit des deux développements à l’aide de la formule (31), on trouvera

${\begin{aligned}1+&{\frac {\mu }{1}}z\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)+{\frac {\mu (\mu -1)}{1.2}}z^{2}\left(\cos 2\theta +{\sqrt {-1}}\sin 2\theta \right)+\ldots \\&=1+{\frac {\mu }{1}}\left[{\frac {1}{2}}l\left(1+2z\cos \theta +z^{2}\right)+s{\sqrt {-1}}\right]\\&\qquad \quad +{\frac {\mu ^{2}}{1.2}}\left[{\frac {1}{2}}l\left(1+2z\cos \theta +z^{2}\right)+s{\sqrt {-1}}\right]^{2}+\ldots \end{aligned}}$

$(z=-1,\quad z=+1).$

Enfin, si, après avoir retranché l’unité de chaque membre, puis divisé les deux membres par $\mu ,$ on fait converger la quantité $\mu$ vers la limite zéro, on obtiendra l’équation

(37)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {z}{1}}\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)-{\frac {z^{2}}{2}}\left(\cos 2\theta +{\sqrt {-1}}\sin 2\theta \right)+\ldots \\&={\frac {1}{2}}l\left(1+2z\cos \theta +z^{2}\right)+s{\sqrt {-1}}\end{aligned}}\right.$

$(z=-1,\quad z=+1).$

Corollaire I. — Si l’on égale, dans les deux membres de l’équation (37) : 1^o les parties réelles ; 2^o les coefficients de ${\sqrt {-1}},$ et que l’on remette pour $s$ sa valeur déterminée par la formule (18), on obtiendra les deux équations réelles

(38)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {z}{1}}\cos \theta -{\frac {z^{2}}{2}}\cos 2\theta +{\frac {z^{3}}{3}}\cos 3\theta -\ldots =&{\frac {1}{2}}l\left(1+2z\cos \theta +z^{2}\right),\\{\frac {z}{1}}\sin \theta -{\frac {z^{2}}{2}}\sin 2\theta +{\frac {z^{3}}{3}}\sin 3\theta -\ldots =&\operatorname {arc\,tang} {\frac {z\sin \theta }{1+z\cos \theta }}\end{aligned}}\right.$

$(z=-1,\quad z=+1).$