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PRÉLIMINAIRES.

ou même, en supprimant tout à fait les parenthèses, des notations suivantes

$$\operatorname {arc\ sin} a,\;\operatorname {arc\ cos} a,\;\operatorname {arc\ tang} a,\;\operatorname {arc\ cot} a,\;\operatorname {\mathrm {arc\ s{\acute {e}}c} } a,\;\operatorname {\mathrm {arc\ cos{\acute {e}}c} } a,$$

lorsque, parmi les arcs dont une ligne trigonométrique est égale $a$, nous voudrons désigner celui qui a la plus petite valeur numérique, ou, si ces arcs sont deux à deux égaux et de signes contraires, celui qui a la plus petite valeur positive. En conséquence,

$$\operatorname {arc\ sin} a,\quad \operatorname {arc\ tang} a,\;\operatorname {arc\ cot} \ a,\;\operatorname {\mathrm {arc\ cos{\acute {e}}c} } a,$$

indiqueront des arcs positifs ou négatifs, mais compris entre les limites

$$-{\frac {\pi }{2}},\quad +{\frac {\pi }{2}},$$

$\pi$ désignant la demi-circonférence dans le cercle qui a pour rayon l’unité, tandis que

$$\operatorname {arc\ cos} a,\quad \operatorname {\mathrm {arc\ s{\acute {e}}c} } a$$ indiqueront des arcs positifs compris entre les limites $0$ et $\pi$.

En vertu des conventions que l’on vient d’établir, si l’on désigne par $k$ un nombre entier arbitraire, on aura évidemment, pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la quantité $a$,

(3)

$${\begin{cases}\operatorname {arc\ sin} ((a))={\cfrac {\pi }{2}}\pm \left({\cfrac {\pi }{2}}-\operatorname {arc\ sin} a\right)\pm 2k\pi ,\\\operatorname {arc\ cos} ((a))=\operatorname {arc\ cos} a\pm 2k\pi ,\\\operatorname {arc\ tang} ((a))=\operatorname {arc\ tang} a\pm k\pi ,\\\operatorname {arc\ cos} a+\operatorname {arc\ sin} a={\cfrac {\pi }{2}},\\\operatorname {\mathrm {arc\ cos{\acute {e}}c} } a+\operatorname {\mathrm {arcs{\acute {e}}c} } a={\cfrac {\pi }{2}}.\end{cases}}$$

On trouvera de plus, pour des valeurs positives de $a$,

(4)

$\operatorname {arc\ cot} a+\operatorname {arc\ tang} a={\frac {\pi }{2}}$

Œvres de C. — S. II, t. III.

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