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deux termes de cette espèce, $x_{1}$ étant la plus petite des deux valeurs correspondantes de $x.$ On aura évidemment

$x_{0}<x_{1}<\mathrm {X'<X}$

et

$\mathrm {X} '-x_{1}={\frac {h}{m}}={\frac {1}{m}}(\mathrm {X} -x_{0}).$

Ayant déterminé $x_{1}$ et $\mathrm {X} '$ comme on vient de le dire, on pourra de même, entre ces deux nouvelles valeurs de $x,$ en placer deux autres $x_{2},\mathrm {X} ''$ qui, substituées dans $f(x),$ donnent des résultats de signes contraires, et qui soient propres à vérifier les conditions

$x_{1}<x_{2}<\mathrm {X''<X'} ,$

$\mathrm {X} ''-x_{2}={\frac {1}{m}}(\mathrm {X} '-x_{1})={\frac {1}{m^{2}}}(\mathrm {X} -x_{0}).$

En continuant ainsi, on obtiendra : 1^o une série de valeurs croissantes de $x,$ savoir

(2)

$x_{0},\quad x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots \,;$

2^o une série de valeurs décroissantes

(3)

${\rm {X,\quad X',\quad X'',\quad \ldots }}$

qui, surpassant les premières de quantités respectivement égales aux produits

$1\times (\mathrm {X} -x_{0}),\quad {\frac {1}{m}}\times (\mathrm {X} -x_{0}),\quad {\frac {1}{m^{2}}}\times (\mathrm {X} -x_{0}),\quad \ldots .$

finiront par différer de ces premières valeurs aussi peu que l’on voudra. On doit en conclure que les termes généraux des séries (2) et (3) convergeront vers une limite commune. Soit $a$ cette limite. Puisque la fonction $f(x)$ reste continue depuis $x=x_{0},$ jusqu’à $x=\mathrm {X} ,$ les termes généraux des séries suivantes

${\begin{array}{llll}f(x_{0}),&f(x_{1}),&f(x_{2}),&\ldots ,\\f(\mathrm {X} ),&f(\mathrm {X} '),&f(\mathrm {X} ''),&\ldots \end{array}}$

convergeront également vers la limite commune $f(a)\,;$ et, comme en s’approchant de cette limite ils resteront toujours de signes contraires, il est clair