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$z$ sera une quantité comprise entre les limites $0,2\alpha ,$ et que par suite on aura évidemment

$-q={\frac {\operatorname {F_{2}} (\xi )+z\operatorname {F_{3}} (\xi )}{\operatorname {F_{1}} (\xi )}}={\frac {6{,}3+z}{11{,}23}}<0{,}6<1,$

${\frac {\operatorname {F_{3}} (\xi )}{\operatorname {F_{1}} (\xi )}}={\frac {1}{11{,}23}}<0{,}1,$

${\text{val. num.}}z={\text{val. num.}}\left(\alpha +qz^{2}\right)<{\text{val. num.}}\alpha +(2\alpha )^{2}{\text{val. num.}}q<0{,}01,$

on en conclura (théorème IV, scolies III et IV) que, en prenant

$x=2{,}0945681,$

on commet une erreur plus petite que $0{,}0001,$ et en prenant

$x=2{,}0945515$

une erreur plus petite que $0{,}000001.$

Au lieu d’employer les formules générales, on pourrait effectuer le calcul de la manière suivante. Après avoir trouvé $2{,}1$ pour la valeur approchée de $x,$ on fera dans l’équation (90)

$x=2,1+z,$

et l’on en tirera, en divisant tous les termes par le coefficient de

(92)

$0{,}005431878\ldots +z+0{,}560997328\ldots z^{2}+0{,}089047195\ldots z^{3}=0$

ou, ce qui revient au même.

(93)

$z=-0{,}005431878\ldots +qz^{2},$

la valeur de $q$ étant déterminée par la formule

(94)

$q=-0{,}560997328\ldots -0{,}089047195\ldots \ldots z.$

Le double du premier terme de l’équation (92) est, à très peu près, $0,01\,;$ et, comme le premier membre de cette équation fournit deux résultats de signes contraires lorsqu’on y fait successivement

$z=0,\qquad z=-0{,}01,$

on peut affirmer qu’elle a une racine réelle comprise entre les limites $0$ et $-0{,}01.$ Pour démontrer que cette racine est unique, il suffit d’observer que, en vertu de la formule (60), l’équation

$\operatorname {F_{1}} (2{,}1+z)=0$