De plus, en vertu des principes établis dans le Chapitre IX (§ II) et dans la Note précédente, on pourra développer, non seulement 
et 
mais aussi les seconds membres des formules (1), (2), (3), (4), suivant les puissances ascendantes de 
et, comme les coefficients de ces puissances devront alors être les mêmes dans le premier et le second membre de chaque formule, on obtiendra, en comparant deux à deux les coefficients dont il s’agit, une suite d’équations parmi lesquelles on distinguera celles que je vais écrire :
| (5)
|
|
|
| (6)
|
|
|
Nous supposerons toujours ici la variable 
comprise entre les limites 
Mais on démontre facilement à l’aide du Calcul infinitésimal que, sans altérer les équations (1), (2), (3), (4), (5), (6),…, on peut y faire croître la valeur numérique de jusqu’à 
Ajoutons que, en prenant 
on fait coincider l’équation (6) avec la formule (12) de la Note VII, et l’équation (5) avec la suivante :
Cette dernière se trouve dans les Mélanges d’Analyse, publiés en 1815 par M. de Stainville, répétiteur à l’École royale Polytechnique.
Concevons à présent que, dans les formules déjà citées du Chapitre VII
(§ V), on attribue à la variable une valeur imaginaire. On conclura sans peine des principes développés dans le Chapitre IX (§ III), qu’elles ne cesseront pas d’être exactes. Supposons, par exemple,
étant la caractéristique des logarithmes népériens. Comme on aura, dans cette hypothèse,
