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1^o pour des valeurs paires de $m,$

(15)

$\cos mz=\left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {\pi }{2m}}}}\right)\left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {3\pi }{2m}}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {(m-1)\pi }{2m}}}}\right),$

(16)

${\begin{aligned}\sin mz=m\sin z\cos z\left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {2\pi }{2m}}}}\right)\left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {4\pi }{2m}}}}\right)\qquad &\\\ldots \left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {(m-2)\pi }{2m}}}}\right)\,;&\end{aligned}}$

2^o pour des valeurs impaires de $m,$

(17)

${\begin{aligned}\cos mz=\cos z\left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {\pi }{2m}}}}\right)\left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {3\pi }{2m}}}}\right)\qquad \qquad &\\\ldots \left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {(m-2)\pi }{2m}}}}\right),&\end{aligned}}$

(18)

${\begin{aligned}\sin mz=m\sin z\left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {2\pi }{2m}}}}\right)\left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {4\pi }{2m}}}}\right)\qquad \qquad &\\\ldots \left(1-{\frac {\sin ^{2}z}{\sin ^{2}{\frac {(m-1)\pi }{2m}}}}\right).&\end{aligned}}$

De plus, si l’on observe qu’on a généralement

$\sin ^{2}b-\sin ^{2}a={\frac {\cos 2a-\cos 2b}{2}},$

on reconnaitra sans peine que les équations (11), (12), (13) et (14) peuvent être remplacées par celles qui suivent

(19)

$\left\{{\begin{aligned}\cos mz=2^{{\frac {m}{2}}-1}\left(\cos 2z-\cos {\frac {\pi }{m}}\right)\left(\cos 2z-\cos {\frac {3\pi }{m}}\right)\qquad \quad &\\\ldots \left(\cos 2z-\cos {\frac {(m-1)\pi }{m}}\right),&\\\sin mz=2^{{\frac {m}{2}}-1}\sin 2z\left(\cos 2z-\cos {\frac {2\pi }{m}}\right)\left(\cos 2z-\cos {\frac {4\pi }{m}}\right)&\\\ldots \left(\cos 2z-\cos {\frac {(m-2)\pi }{m}}\right),&\end{aligned}}\right.$

(20)

$\left\{{\begin{aligned}\cos mz=2^{\frac {m-1}{2}}\cos z\left(\cos 2z-\cos {\frac {\pi }{m}}\right)\left(\cos 2z-\cos {\frac {3\pi }{m}}\right)\ \ &\\\ldots \left(\cos 2z-\cos {\frac {(m-2)\pi }{m}}\right),&\\\sin mz=2^{\frac {m-1}{2}}\sin z\left(\cos 2z-\cos {\frac {2\pi }{m}}\right)\left(\cos 2z-\cos {\frac {4\pi }{m}}\right)&\\\ldots \left(\cos 2z-\cos {\frac {(m-1)\pi }{m}}\right),&\end{aligned}}\right.$

les deux premières se rapportant au cas où $m$ est un nombre pair, et les deux dernières au cas où $m$ est un nombre impair.

Les douze équations qui précèdent subsistent également, quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires attribuées à la variable $z.$ On peut donc y remplacer cette variable par ${\frac {\pi }{2}}-z,$ par ${\sqrt {-1}}\,lx,\ldots .$ Dans le premier cas, on obtient plusieurs équations nouvelles correspondantes aux