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COURS D’ANALYSE.

et le second membre lui-même vers une limite de la forme

$k+\alpha ,$

$\alpha$ étant toujours compris entre $-\varepsilon$ et $+\varepsilon .$ Par suite, le rapport

${\frac {f(x)}{x}}$

aura pour limite une quantité comprise entre $k-\varepsilon$ et $k+\varepsilon .$ Cette conclusion devant subsister, quelle que soit la petitesse du nombre $\varepsilon ,$ il en résulte que la limite en question sera précisément la quantité $k.$ En d’autres termes, on aura

(3)

$\lim {\frac {f(x)}{x}}=k=\lim \left[f(x+1)-f(x)\right].$

Supposons, en second lieu, $k=\infty .$ En désignant alors par $\mathrm {H}$ un nombre aussi grand que l’on voudra, on pourra toujours attribuer au nombre $h$ une valeur assez considérable, pour que, $x$ étant égal ou supérieur à $h,$ la différence

$f(x+1)-f(x),$

qui converge vers la limite $\infty ,$ devienne constamment supérieure à $\mathrm {H} \,;$ et, en raisonnant comme ci-dessus, on établira la formule

${\frac {f(h+n)-f(h)}{n}}>\mathrm {H} .$

Si maintenant on pose $h+n=x,$ on trouvera, au lieu de l’équation (2), la formule suivante

${\frac {f(x)}{x}}>{\frac {f(h)}{x}}+\mathrm {H} \left(1-{\frac {h}{x}}\right),$

de laquelle on conclura, en faisant converger $x$ vers la limite $\infty ,$

$\lim {\frac {f(x)}{x}}>\mathrm {H} .$

La limite du rapport

${\frac {f(x)}{x}}$