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PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.

on obtiendra à la place des théorèmes I et II les propositions suivantes :

Théorème III. — Si la suite des quantités

$\mathrm {A_{1},\quad A_{2},\quad A_{3},\quad \ldots ,\quad A} _{n},\quad \ldots$

est telle que la différence entre deux termes consécutifs de cette suite, savoir

$\mathrm {A} _{n+1}-\mathrm {A} _{n},$

converge constamment, pour des valeurs croissantes de $n,$ vers une limite fixe $\mathrm {A} ,$ le rapport

${\frac {\mathrm {A} _{n}}{n}}$

convergera en même temps vers la même limite.

Théorème IV. — Si la suite des nombres

$\mathrm {A_{1},\quad A_{2},\quad A_{3},\quad \ldots ,\quad A} _{n},\quad \ldots$

est telle que le rapport entre deux termes consécutifs, savoir

${\frac {\mathrm {A} _{n+1}}{\mathrm {A} _{n}}},$

converge constamment, pour des valeurs croissantes de $n,$ vers une limite fixe $\mathrm {A} ,$ l’expression

$(\mathrm {A} _{n})^{\frac {1}{n}}$

convergera en même temps vers la même limite.

Pour montrer une application du dernier théorème, supposons

$\mathrm {A} _{n}=1.2.3\ldots n.$

La suite $\mathrm {A_{1},A_{2}} ,\ldots$ deviendra

$1,\quad 1.2,\quad 1.2.3,\quad \ldots ,\quad 1.2.3\ldots (n-1)n,\quad \ldots .$

et le rapport entre deux termes consécutifs de la même suite, savoir

${\frac {\mathrm {A} _{n+1}}{\mathrm {A} _{n}}}={\frac {1.2.3\ldots n(n+1)}{1.2.3\ldots n}}=n+1,$