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PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

de même degré, et les valeurs particulières de $u$ par les valeurs particulières de $u-a,$ on obtiendra l’équation

(2)

$\left\{{\begin{aligned}u-a=&\quad \ (u_{0}-a){\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})}}\\&+(u_{1}-a){\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})\ldots (x_{1}-x_{n-1})}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+(u_{n-1}-a){\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-2})}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})}}\,;\end{aligned}}\right.$

et, en comparant cette équation à la formule (1), on trouvera la suivante

(3)

$\left\{{\begin{aligned}1=&\quad \ {\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n-1})}}\\&+{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})\ldots (x_{1}-x_{n-1})}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-2})}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})}}.\end{aligned}}\right.$

Cette dernière équation est identique et subsiste quel que soit $x.$

Les équations (1) et (2) peuvent servir l’une et l’autre à résoudre, pour les fonctions entières, le problème de l’interpolation ; mais il convient, en général, de préférer pour cet objet l’équation (2), attendu qu’on peut y faire disparaître l’un des termes du second membre, en prenant la constante $a$ équivalente à l’une des quantités

$u_{0},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{n-1}.$

Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de faire passer une droite par deux points donnés. Désignons par $x_{0},y_{0}$ les coordonnées rectangulaires du premier point, par $x_{1},y_{1}$ celles du second, et par $y$ l’ordonnée variable de la droite. En remplaçant dans la formule (2) la lettre $u$ par la lettre $y,$ puis faisant $n=1$ et $a=y_{0},$ on trouvera pour l’équation de la droite

(4)

$y-y_{0}=(y_{1}-y_{0}){\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.$