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coefficients $\mathrm {A,B,C,D,E,F,G,H,I}$ vérifient, non seulement la condition

(83)

{\rm {E(FD-BE)+D(EF-AD)+C\left(AB-F^{2}\right)=0,}}

qui n’est autre que la formule (74), mais encore la suivante :

(84)

{\rm {G(FD-BE)+H(EF-AD)+I\left(AB-F^{2}\right)=0.}}

Cela posé, il est clair que, dans l’hypothèse admise, les deux premières des équations (48) fourniront des valeurs finies et déterminées des deux inconnues $\xi ,\eta ,$ exprimées en fonction de $\zeta ,$ savoir,

(85)

{\rm {\xi ={\frac {FD-BE}{AB-F^{2}}}\zeta +{\frac {FH-BG}{AB-F^{2}}},\quad \eta ={\frac {EF-AD}{AB-F^{2}}}\zeta +{\frac {FG-AH}{AB-F^{2}}},}}

et que ces valeurs, substituées dans la troisième des équations (48), la vérifieront quelle que soit $\zeta .$ Donc alors il existera une droite unique et déterminée, dont les coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta$ satisferont aux trois équations (48); d’où il résulte qu’elle sera comprise dans les divers plans diamétraux représentés par la formule (5), ainsi que dans les plans principaux correspondants à celles des racines de l’équation (9) qui différeront de zéro. Ajoutons : 1^o que la même droite sera perpendiculaire en chacun de ses points à l’un des plans principaux et parallèles entre eux qui correspondront à la racine nulle de l’équation (9) ; 2^o que les plans principaux qui passeront par cette droite, réduits à deux plans déterminés, si l’équation (9) n’a pas de racines égales, et pris deux à deux dans le cas contraire, seront perpendiculaires l’un à l’autre. Donc chaque point de la droite dont il s’agit, étant le point d’intersection de trois plans principaux et rectangulaires, sera un centre de la surface représentée par l’équation (1).

Supposons maintenant que chacune des équations (76) se confonde avec les deux autres, et que toutes les valeurs de $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ propres à vérifier l’une d’entre elles avec la formule (7) vérifient encore l’équation (13). On aura nécessairement

(86)

{\rm {A:F:E:G::F:B:D:H::E:D:C:I\,;}}