diverses formes que peut offrir la surface (107), on peut l’effectuer très simplement en résolvant l’équation (107) par rapport à l’une des variables Ajoutons que, pour distinguer les unes des autres les diverses surfaces que peut représenter l’équation (1), pour une forme donnée de la surface (107), il suffira le plus souvent de rechercher s’il existe des points qui puissent être considérés comme centres de la surface (1), et si ces points sont situés sur la surface. On y parviendra sans peine à l’aide des formules (48) et (105). Ainsi, en particulier, quand la surface (1) offrira un ou plusieurs centres, les coordonnées de ces mêmes centres seront les valeurs de que détermineront les formules (48), ou, ce qui revient au même, les valeurs des variables que fourniront les dérivées de l’équation (1) prises successivement par rapport aux trois variables dont il s’agit, savoir
| (108) |
De plus, si l’on substitue ces valeurs de dans le premier membre de la formule (1), on obtiendra précisément la quantité désignée dans l’équation (105) par la lettre Cela posé, il est clair que, pour distinguer le paraboloïde elliptique du cylindre elliptique, le paraboloïde hyperbolique du cylindre hyperbolique, et le cylindre parabolique du système de deux plans parallèles, il suffira d’examiner si l’on peut satisfaire ou non aux équations (108) par des valeurs finies de Remarquons en outre que l’ellipsoïde se réduira simplement à un point, l’hyperboloïde à un cône, le cylindre elliptique à son axe, et le système de deux plans parallèles à un seul plan, si les deux quantités et sont égales entre elles.
Lorsque, pour déterminer l’espèce de la surface du second degré que représente une équation donnée, on a recouru aux formules que nous venons d’indiquer, c’est-à-dire, aux formules (105) et (108), il ne peut rester à vaincre d’autre difficulté que celle qui consiste à distinguer l’ellipsoïde réel de l’ellipsoïde imaginaire, ou le cylindre
