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et, à la fin du temps $t+\Delta t,$ par le produit

$(\rho +\Delta \rho )\operatorname {v} (1+\theta \Delta t)=\rho \operatorname {v} \left[1+\left(\theta +{\frac {1}{\rho }}{\frac {\Delta \rho }{\Delta t}}\right)\Delta t+\ldots \right].$

Cela posé, comme cette masse ne saurait changer de valeur avec le temps, on aura nécessairement

$1+\left(\theta +{\frac {1}{\rho }}{\frac {\Delta \rho }{\Delta t}}\right)\Delta t+\ldots =1$

et, par suite,

$\theta +{\frac {1}{\rho }}{\frac {\Delta \rho }{\Delta t}}=0\,;$

puis on en conclura, en ayant égard à la formule (8),

(12)

$\rho \theta +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+u{\frac {\partial \rho }{\partial x}}+v{\frac {\partial \rho }{\partial y}}+w{\frac {\partial \rho }{\partial z}}=0.$

D’ailleurs, comme les trois produits

(13)

$u\Delta t,\quad v\Delta t,\quad w\Delta t$

représentent les déplacements très petits de la molécule $m,$ parallèlement aux axes coordonnés, pendant l’instant $\Delta t,$ il est clair qu’il suffira de substituer ces trois produits aux quantités $\xi ,\eta ,\zeta$ dans la valeur de $\upsilon$ déterminée par l’équation (33) de la page 66 du second Volume^[1] pour obtenir la dilatation $\theta \Delta t$ du volume $\mathrm {v} .$ On aura donc

$\theta \Delta t={\frac {\partial (u\Delta t)}{\partial x}}+{\frac {\partial (v\Delta t)}{\partial y}}+{\frac {\partial (w\Delta t)}{\partial z}}$

ou, plus simplement,

(14)

$\theta ={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}.$

Par conséquent, la formule (12) donnera

(15)

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+u{\frac {\partial \rho }{\partial x}}+v{\frac {\partial \rho }{\partial y}}+w{\frac {\partial \rho }{\partial z}}+\rho \left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)=0$

1. OEuvres de Cauchy, S. II. T. VII, p. 89.